Formule matematiche utili all'astrofilo

Di seguito una serie di formule molto utili per l'astrofografia, che il buon Giancarlo Calzetta si è preso la briga di chiedere in prestito dal sito di Wilmslow Astro e di tradurre in italiano. Ringraziandolo per il permesso accordatomi, condivido anche io questo utile lavoro, approfittando dell'occasione per arricchirlo ulteriormente con formule inserite da me.
Prego chiunque abbia suggerimenti o correzioni di segnalarmeli!

Campo apparente e campo inquadrato reale degli oculari
Campo inquadrato dal CCD
CCD arc-sec/pixel e rapporto focale
arc-sec/pixel partendo dalla dimensione nota di un oggetto
Rapporto focale (F/)
Lunghezza focale partendo dalla dimensione nota di un oggetto
Dimensione di un oggetto sul sensore partendo da dimensione angolare e focale
Campionamento ideale CCD
Riduttori di focale
Proiezione da oculare
Ombre di polvere sul ccd
Riflessi dei filtri sul ccd
Magnitudine limite nel visuale
Rapporto segnale rumore
Dimensione disco di Airy
Errore periodico della montatura
Lunghezza della traccia delle stelle
Velocità autoguida
Zona critica per il fuoco & zona di fuoco CCD
Massima distanza filtro-sensore per evitare la vignettatura
Calcolatore entità della rotazione di campo


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Campo apparente dell'oculare e corrispondente campo reale

Di seguito riportiamo due metodi: il primo è pi&uagrave; approssimativo, ma più semplice da applicare dato che spesso non si conoscono le caratteristiche del field stop.

Metodo 1

Ingrandimento = Focale del telescopio / Focale dell'oculare;
Real FoV = Apparent FoV / Magnification
Focale del telescopio
Focale dell'oculare
Campo apparente dell'oculare
 
Campo inquadrato reale


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Metodo 2

RealFoV = (Eyepiece Field Stop / Focal Length Scope) * 57.3
Focale del telescopio
Diametro del Field Stop
 
Campo inquadrato reale


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Campo inquadrato dal CCD in primi d'arco (ArcMin)

A partire dalla dimensione del CCD in millimetri o da risoluzione e dimensione pixel
angle = 2*atan((CCD width/2) / Focal Length Scope)

Metodo 1

Focale del telescopio
Larghezza del sensore CCD (mm)
Altezza del sensore CCD (mm)
 
Campo inquadrato in primi d'arco


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Metodo 2

Focale del telescopio
Larghezza del pixel del CCD (micron)
Altezza del pixel del CCD (micron)
Larghezza del CCD in pixel
Altezza del CCD in pixel
 
Campo inquadrato in primi d'arco


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In alternativa, possiamo prendere la dimensione in arcosecondi di un oggetto e dividerla per le dimensioni dell'oggetto in pixel.
arcsec/pix = objectsize / imagesize
Dimensioni dell'oggetto in arcosecondi
Dimensioni dell'oggetto in pixel
 
Rapporto arcsec/pixel risultante


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Partendo dal rapporto focale, diventa:
f ratio = (pix size * 206.3) / (aperture * arcsec per pix)
Dimensione pixel CCD (micron)
Pixel binning
rapporto arcsec / pixel dell'immagine
Apertura telescopio (mm)
 
Rapporto focale risultante


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Possiamo usare questa formula per ottenere una misurazione ragionevolmente accurata del rapporto focale quando conosciamo le dimensioni apparenti in arcosecondi di un oggetto o la distanza, sempre apparente e in arcosecondi, tra due stelle.Oppure per calcolare la lunghezza focale con cui è stata ottenuta un'immagine quando conosciamo le dimensioni apparenti dell'oggetto ripreso:
focal length = (object[pix] * pix_size * 206.3) / object[arcsec]
Dimensione pixel CCD (micron)
Pixel binning
Dimensione dell'oggetto in pixel
Dimensione dell'oggetto in arcsec
 
Lunghezza focale risultante


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Con questa formula è possibile calcolare la dimensione di un oggetto sul sensore CCD in mm e in pixel conoscendone la dimensione angolare in primi o secondi d'arco e sapendo la focale di ripresa.
object[pix]=(focal length * object[arcsec])/(pix_size * 206.3)
unità di misura dell'oggetto
Dimensione dell'oggetto
Lunghezza focale di ripresa in mm
[opz. - solo per il calcolo in pixel] Dimensione pixel CCD (micron)
[opz. - solo per il calcolo in pixel] Pixel binning
 
Dimensione dell'oggetto in pixel
Dimensione dell'oggetto in mm


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Campionamento ideale nella ripresa CCD di pianeti


Questa formula ci fornisce la lunghezza focale minima necessaria per ottenere il massimo campionamento con una data CCD. La formula parte dal presupposto che il seeing e l'ottica siano perfetti. Utilizzando la tipica tecnica del "lucky imaging" con esposizioni brevi e tanti frame ripresi, l'assunto è ragionevole anche se non pienamente verificato. Un campionamento ideale, secondo questa formula, corrisponde alla risoluzione massima del telescopio spalmata su 3 pixel.
f length >= (aperture * pixel)/(wavelength * 1.22) * 3
Filtro di ripresa
Lunghezza d'onda (nm)
Apertura (mm)
Dimensione pixel CCD (micron)
 
Rapporto focale risultante
Lunghezza focale risultante


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Riduttori di focale

Questa formula calcola la focale risultante quando si usa un riduttore di focale:
f ratio = (1 - (a / b)) * cE questa calcola la quantità di backfocus che viene utilizzata dal riduttore su di un determinato setup:
in focus = a - (b * a) / (b - a)
Riduttore di focale
distanza tra ccd e riduttore (mm)
Lunghezza focale del riduttore (mm)
rapporto focale del telescopio
 
Rapporto focale risultante
Quantità di fuoco interno necessario*


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Dove:
a = Distanza del CCD dal riduttore di focale
b = lunghezza focale del riduttore
c = Rapporto focale del telescopio. I riduttori Celestron/Meade hanno le seguenti lunghezze focali.
[nota: intorno al 2006, Meade ha messo in circolazione dei riduttori 0.63 che avevano una lunghezza focale pari alla metà di quella che sarebbe dovuta essere, rendendoli inadatti all'uso con ruote portafiltri e Reflex. Quelli marchiati "Japan" sono OK così come lo sono quelli marchiati "China".]
:
FR 0.33x Lunghezza focale = 85mm
FR 0.63x Lunghezza focale = 285mm
William Optics 0.8x FR Lunghezza focale = 260mm
ATIK 0.5x FR Lunghezza focale = 80mm* Notare che il calcolo del fuoco interno necessario presuppone che la necessaria distanza tra riduttore e CCD sia aggiunta al treno ottico, come quando si usano i raccordi Celestron o Meade per SC. Se si usa un riduttore di focale come quello Atik, che si inserisce all'interno del treno ottico già presente, allora si deve aggiungere la distanza al risultato (in modo da ridurlo). Se invece si usa un riduttore di focale come quello Meade/Celestron, allora bisogna sottrarre la lunghezza focale al risultato, per aumentarlo o renderlo negativo).


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Proiezione da oculare

Questa formula serve per calcolare la focale (e il rapporto focale) risultante utilizzando la tecnica della proiezione da oculare:
magnification = (epid - epfl) / epfl
Resulting FL = scope FL * Magnification
Resulting fRatio = scope fRatio * magnification
Distanza Oculare-CCD(mm)
Focale del telescopio(mm)
Rapporto focale del telescopio
Lunghezza focale dell'oculare(mm)
 
Rapporto focale risultante
Lunghezza focale equivalente(mm)
Fattore di ingrandimento


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Dove:
epid = Distanza dell'oculare dal CCD
epfl = Lunghezza focale dell'oculare
Note: Questa formula fornisce un valore approssimativo del rapporto focale e della lunghezza focale equivalente. La distanza dal CCD all'oculare è infatti difficile da misurare e il suo punto nodale (cioè il punto d'efficacia dell'oculare, che di solito si trova all'interno dell'oculare) è spesso sconosciuto.

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Macchie di polvere sul CCD

In caso di problemi di macchie di polvere sul CCD, questa formula calcola la distanza tra le particelle che le provocano e il CCD:
Distance = (p * f * d) / 1000
Dimensione pixel CCD (micron)
Pixel binning
Rapporto Focale del sistema di ripresa
Diametro delle macchie di polvere (pixels)
 
Distanza dal CCD (mm)


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Dove:
Dist = Distanza in mm dalla superfice del CCD
p = Dimensione in micron dei pixel del CCD
f = Rapporto focale del sistema di ripresa
d = Diametro delle macchie di polvere in pixel


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Riflessi dei filtri sul ccd

In caso di aloni attorno alle stelle, ecco una formula che ci dice quanto è distante dal ccd la loro fonte.
Distance = (D * P * FR) / 1000
Dimensione pixel CCD (micron)
Pixel binning
Rapporto Focale del sistema di ripresa
Diametro dei riflessi in pixel
 
Distanza dal CCD (mm)


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Dove:
Dist = Distanza dal CCD in mm
D = Diametro dei riflessi in pixel
P = Dimensione pixel CCD in micron
FR = Rapporto Focale del sistema di ripresa


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Magnitudine limite visuale


Una formula approssimativa per calcolare la magnitudine limite in visuale per un dato telescopio è:
VLM = 7.5 + (5 * Log(Aperture [cm]))
La magnitudine limite fotografica è di circa un paio di punti più debole.

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Rapporto Segnale/Rumore


Questa è una formula semplificata per il calcolo del rapporto Segnale/Rumore:
SNR = S / SQRT(S + B + D + nRN^2)
Dove:
S = Segnale complessivo del soggetto
B = Segnale complessivo del fondo
D = Corrente di dark
RN = Rumore di lettura del Bias
n = Numero delle pose


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Diametro del disco di Airy


Questa è una formula per calcolare le dimensioni del disco di Airy prodotto da un telescopio:
D = 2.43932 * l * FR
e
A = 2 * ArcTan(D / (2 * fl))
D = Diametro del disco di Airy in mm
λ = Lunghezza d'onda della luce in nm
FR = Rapporto focale del sistema di ripresa
A = Diametro angolare del disco di Airy
fl = Lunghezza focale del telescopio
Colore della luce
Lunghezza d'onda (nm)
Diametro del telescopio (mm)
Rapporto focale del sistema di ripresa
 
Dimensioni del disco di Airy (mm)
Dimensioni angolari del disco di Airy in arcsec


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Calcolo dell'errore periodico della montatura


Per calcolare l'errore periodico della montatura utilizzando un CCD o una webcam di solito si mette in un foglio di calcolo una serie di dati che rappresentano lo scostamento di una stella ripresa e poi si crea un grafico. I dati sono rappresentano di solito uno scostamento e un orario. Per convertire i valori dell'errore in arcosecondi, bisogna conoscer il rapporto arcosec/pixel della ripresa e la declinazione della stella. La formula completa è la seguente:
Error = (D * R) / cos(Dec)
D = Deviazione della posizione della stella da quella iniziale
R = Risoluzione della CCD in arcosecondi
Dec = Declinazione della stella
Naturalmente si può eliminare la necessità di conoscere la declinazione della stella puntandone una in prossimità dell'equatore celeste..

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Lunghezza delle strisciate delle stelle


La seguente formula calcola la lunghezza delle tracce lasciate dalle stelle in una ripresa del cielo a camera fissa:
Star trail length
F = Lunghezza focale del telescopio (la lunghezza delle strisciate sarà espressa nella stessa unità di misura usata per questo dato)
E = Durata delle esposizioni
T = Lunghezza del giorno siderale espressa nella stessa unità di misura della lunghezza delle esposizioni
D = Declinazione della stella 
Oppure, per chi fa immagini CCD:
Star trail length in pixels
Lunghezza focale (mm)
Durata esposizioni (secs)
Declinazione
Dimensioni pixel (micron)
Binn
 
Lunghezza traccia stellare


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Velocità autoguida


Questa formula calcola di quanti pixel per secondo si muovere la montatura durante l'autoguida. Il calcolo parte dal presupposto che gli assi di ar e dec siano perfettamente allineati agli assi del sensore.
pixels/sec = (str * gr * cos(dec)) / aspp
Dove:
str = Velocità di inseguimento siderale (15.04 arcsecs/secondo)
gr = Velocità di guida della montatura (frazione di quella siderale)
aspp = Rapporto arcsec/pixel della camera di guida o di ripresa
dec = Declinazione della stella
Lunghezza focale del telescopio guida (mm)
Velocità di guida della montatura (frazione di quella siderale)
Declinazione della stella guida
Dimensione dei pixel della camera (micron)
Binning
 
Spostamento al secondo


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Zona critica del fuoco


La formula seguente calcola la lunghezza della zona in cui l'immagine di una stella a fuoco è più piccola del suo disco di Airy.
cfz = 2 x f-ratio x AiryDisk
che può essere espressa come:
cfz = 4.88 x f-ratio^2 x wavelength
Per le camere CCD usiamo un campionamento a 2X:
ccd fz = f-ratio x pixel size
Dove:
λ = lunghezza d'onda della luce
Colore della luce
Lunghezza d'onda della luce
Rapporto focale
Dimensioni dei pixel del CCD (micron)
Binning
 
Zona critica del fuoco
Zona critica del fuoco su CCD
Nota: La zona critica del fuoco per i CCD è diversa perché con rapporti focali bassi la dimensione del disco di Airy diventa molto più piccola della dimensione media dei pixel delle CCD. Il valore della zona critica per il CCD, nel caso in cui il disco di Airy sia la metà della dimensione efficace dei pixel, assume quindi il valore "CCD focus zone" definito nella formula in alto, che fornisce un'indicazione più precisa della CFZ per gli astrofotografi.
Nota2: Se si utilizza una barlow o la proiezione dell'oculare, la zona critica del fuoco sul CCD sarà quella relativa al rapporto focale equivalente ottenuto, mentre la zona critica del fuoco in corrispondenza del focheggiatore resterà quella originale. In pratica, solo se il focheggiatore fosse montato a valle di una barlow nx, si avrebbe una profodità di fuoco aumentata di n^2 volte; per un focheggiatore posto a monte continua invece a valere la zona critica originaria propria del telescopio.

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Massima distanza filtro-sensore per evitare la vignettatura

Questa formula calcola la massima distanza che può intercorrere fra il sensore e un filtro prima che compaiano effetti di vignettatura:
dist < (F/D)*(diametro_filtro-diagonale_CCD)
Larghezza del sensore (mm) [o diagonale, mettendo a 0 l'altezza]
Altezza del sensore (mm)
diametro INTERNO del filtro (mm)
Rapporto focale del telescopio (F/D)
Apertura (mm)
 
Massima distanza filtro-sensore


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Rotazione di campo

Questa formula calcola la rotazione di campo misurata in pixel sul bordo del soggetto inquadrato (o dell'intera inquadratura, se ci sono anche stelle sul bordo di cui si desidera preservare la puntiformità. In particolare si consideri che un valore maggiore di 1 significa che si avrà del mosso dovuto a rotazione di campo. I calcoli sono effettuati nell'ipotesi di un errore di stazionamento solo in altezza e di soggetto ripreso posto al meridiano locale che, rispetto alla prima ipotesi, corrisponde al caso peggiore. La formula applicata è la seguente:
rotaz_in_pixel = 0.5*diam_pixel*(rot_volta + atan((sin(DEC/2)*cos(rot_volta)+sin(ERR/2))/(sin(DEC/2)*sin(rot_volta)))-pi/2); rot_volta = t*2*pi/86400
Diametro in pixel del soggetto (per un'immagine deep, considerare la diagonale del sensore in pixel)
Durata della singola esposizione (s)
Declinazione approssimata del soggetto (gradi)
Errore di stazionamento in gradi (per una montatura altazimutale, indicare la latitudine locale)
Rotazione di campo in gradi:
Rotazione di campo in pixel:
 
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